Boolの代わりにEither () ()を使って，論理演算をポイントフリースタイルで定義

Bool	Either () ()
true	Left
false	Right

この記事では，上記の対応付けを使って，ポイントフリースタイルで論理演算を定義します。

否定 not の定義

a	not a
true	false
false	true

notを定義するには，ArrowChoiceの(|||)を使います。

not :: Either () () -> Either () ()
not = false ||| true

true = Left, false = Rightであることに注意してください。

論理和 or を定義する準備

a	b	or a b
true	true	true
true	false	true
false	true	true
false	false	false

orの型は，以下のようになります。

or :: (Either () (), Either () ()) -> Either () ()

この記事では，複数個の引数は，タプルの形で与えます。カリー化はしません。

orを定義するために，補助関数distrを定義しておきます。distrは，orの第1引数を場合分けするために使います。

distr :: (Either a b, c) -> Either (a, c) (b, c)
distr = uncurry (curry Left ||| curry Right)

型の表記を変更する

型を読みやすくするために，型の表記を変更します。

distr :: (Either a b, c) -> Either (a, c) (b, c)

↓

distr :: (a + b) * c -> a * c + b * c

or :: (Either () (), Either () ()) -> Either () ()

↓

or :: )(() + ())( * )(() + ())( -> () + ()

orの型が「()」だらけで，まだ読みにくいので，さらに表記を変更します。

or :: )(() + ())( * )(() + ())( -> () + ()

↓

or :: (T + F) * (T + F) -> T + F

Tはtrueに対応する型です。true = Leftなので，左側がTとなります。

orの定義

distrを使えば，orは以下のように定義できます。*1

or :: (T + F) * (T + F) -> T + F
or = distr >>> ((fst >>> true) ||| snd)

このときのdistrの役割は，こんな感じです。

おまけ：直積と直和の分配法則

distrには逆関数が存在します。

undistr :: a * c + b * c -> (a + b) * c
undistr = ((fst >>> Left) ||| (fst >>> Right)) &&& (snd ||| snd)

distrとundistrによって，直積と直和には分配法則が成り立つことがわかります。

(a + b) * c = a * c + b * c

*1:このorは短絡評価できます